Para o estudo com os alunos do campo utiliza-se a Modelagem Matemática que propõe analisar e compreender as ações do ser humano na natureza dentro do seu ambiente cultural na resolução de problemas.
Procurando compreender porque a abelha escolhe o formato da base dos alvéolos considerando um polígono hexagonal, é necessário apresentar alguns conceitos básicos pertinentes a essas análises.
Ângulo
Para exemplificar, pede-se aos alunos que desenhem o formato da porta da sala entreaberta. Dessa maneira acredita-se que a representação a seguir seja uma das possíveis respostas.
Nesse ponto introduz-se o conceito de ângulo como a união de duas semi-retas distintas e de mesma origem. E mostra-se aos alunos que os ângulos se classificam em: agudo, reto e obtuso.
- O ângulo agudo possui menos de 90º;
- O ângulo reto possui 90º;
- O ângulo obtuso possui mais de 90º.
Pode-se destacar que o instrumento utilizado para medir ângulos é o transferidor.
Esse é o momento de apresentar aos alunos algumas caixas de presentes ou similares que possuam o formato de cubo, pirâmides de base hexagonal, pirâmide triangular, do prisma de base pentagonal e de cone.
Na sequência, solicita-se aos alunos que reproduzam 12 vezes o contorno da base de cada uma delas.
Usando os contornos do cubo propõem-se aos alunos que façam um mosaico semelhante a ladrilhos, não devendo haver sobreposição entre eles nem espaços vazios.
A mesma atividade pode ser realizada usando o contorno de outros prismas na atividade proposta. Dessa maneira, espera-se que os alunos compreendam a necessidade de que a soma dos ângulos internos que compõe o mosaico, seja de 360º.
Uma vez que os alunos estejam familiarizados com a ideia de ângulo, apresentam-se a eles os polígonos regulares que tem encaixe perfeito.
Para explorar melhor essa situação, apresenta-se aos alunos a fórmula que é usada para obter o ângulo interno de qualquer polígono regular que ao serem justapostos se encaixem perfeitamente sem deixar espaços vazios.
ai = (n-2).180º
n
O aluno vai perceber que para ocorrer essa situação, torna-se necessário que o encaixe perfeito seja de uma volta de 360º no encontro de seus vértices. Os únicos polígonos regulares que apresentam essa característica são o triângulo, o quadrado e o hexágono.
Perímetro
Precisa-se mostrar aos alunos que a abelha escolhe o prisma hexagonal em função de o perímetro ser maior que os demais prismas que possuem capacidade de ladrilhamento. Comenta-se com os alunos que para medir grandes distâncias utiliza-se o quilômetro, o hectômetro e o decâmetro que equivalem aos múltiplos do metro.
Para medir pequenas distâncias utiliza-se o decímetro, o centímetro e o milímetro. Pode-se mostrar aos alunos a relação entre os múltiplos e submúltiplos do metro.
Observando o quadro disposto acima, chama-se a atenção dos alunos para analisarem que cada unidade de comprimento é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior, ou seja, as sucessivas unidades variam de 10 em 10.
Perímetro de um Polígono
A partir das reflexões feitas sobre o metro pode-se apresentar o conceito de perímetro. Para isso pode-se dizer que em matemática o contorno de uma figura, ou seja, a soma dos comprimentos de seus lados (polígono do formato do alvéolo) é chamada de perímetro. Considerando essas afirmações relembra-se que num polígono regular todos os lados possuem a mesma medida. Indicando essa medida por “l”
Os conteúdos matemáticos desenvolvidos até o momento permitem a junção a essas informações o conceito de área. Devem-se analisar os prismas apresentados em sala de aula e mostrar aos alunos que área é uma medida de superfície. A unidade padrão para medir áreas no sistema métrico decimal é o m² que possuem múltiplos e submúltiplos.
Com essas definições entendidas por todos os alunos pode-se prosseguir nos estudos procurando entender: porque as abelhas escolhem o modelo do alvéolo em forma de hexágono?
Entendendo o Alvéolo da Abelha
O alvéolo do favo da abelha é composto de um prisma hexagonal destacando no seu fechamento três losangos que possibilitam a economia de espaço com maior absorção de mel. Para construir um alvéolo precisa-se iniciar pela base do prisma. Chamando os vértices dessas A’B’C’D’E’F’ com lado “l”. A partir desses vértices levanta-se as laterais do prisma hexagonal de altura “h” tendo na extremidade os ângulos A,B,C,D,E,F. Para adquirir o formato triédrico é preciso cortá-los nos pontos AC, CE e AC encontrando-se em um ponto “t” no eixo do prisma. As faces do topo do alvéolo construído pelas abelhas têm o mesmo volume que o prisma hexagonal que deu origem a ele. O que vai diferenciá-lo são o encaixe e a economicidade de material que a junção dos alvéolos pode possibilitar.
O perímetro dos polígonos capazes de formar o alvéolo
Chama-se a atenção dos alunos para o fato dos polígonos terem um número em comum na construção do favo de mel. Chega-se a conclusão de que, nesse caso, o polígono perfeito precisa ter 34 paredes encaixando-se entre si e aproveitando o máximo de material. Os alunos vão observar que são necessários 19 triângulos para formar um favo de mel, ou 13 quadrilátero, ou 8 hexágono.
A partir desse momento pode-se apresentar um estudo de cada polígono a partir de seu perímetro.
Análise do triângulo
A área do triangulo é metade da área do retângulo. Levando em consideração que a área do retângulo é a multiplicação da base pela altura. Então, conclui-se que a área do triangulo é base x altura dividido por 2. No caso do triângulo equilátero o primeiro passo é achar a altura em função das medidas dos lados.
Para que isso ocorra aplica-se o Teorema de Pitágoras.
l² =( l/2)² + h² h
h = l √3/2
Através da altura do triângulo equilátero é possível calcular a área do mesmo.
Dessa maneira pode-se levar o aluno a perceber que a área pode ser obtida por:
A = B X H
A = l² x √3/ 4
Para qualquer triângulo equilátero pode ser utilizada a fórmula acima para calcular a área. Considerando o objeto de estudo favo de mel, podem-se analisar as áreas dos polígonos triangular, quadrado e hexagonal partindo do pressuposto que eles possuem a mesma base e a mesma altura e assim, o mesmo perímetro. Dessa maneira, se a aresta for denominada de medida “a” tem-se que o perímetro do triângulo equivale a 3a, do quadrado 3a/4 e do hexágono a/2. Com isso, a área triangular é:
A = a² √3/4
A = a². 1,73/4
A = 0, 432 a²
Nessa fase comenta-se com os alunos que a partir dos estudos feitos há o entendimento de que a superfície triangular possui 0,432 a² de unidades de área.
Análise do quadrado
Já se estudou que o quadrado é definido como um quadrilátero que possui quatro seguimentos de retas iguais e ângulos congruentes cuja soma é 90º. Para calcular a área de um quadrado multiplicam-se os dois lados simultaneamente. Tomando o lado do quadrado por 3a/4 temos:
A = l x l
A = 9 a²/16
A = 0,562 a²
Para o estudo do quadrado a área é de 0,562 a² unidades de área.
Análise do hexágono
O hexágono é definido como um polígono de 6 lados. Como o hexágono do alvéolo da colméia é regular os lados do mesmo são iguais tendo ângulos congruentes entre si. Nesse sentido essa figura possui seis triângulos equiláteros na sua composição. Consequentemente tem-se como área o seguinte cálculo a partir do triângulo equilátero tendo em vista que o perímetro do hexágono é dividido por 6. Então, temos a aresta como a/2.
A = 6.(a/2)². √3/4
A = 3a² √3/8
A = 0,648 a²
Solicita-se aos alunos que façam os cálculos observando qual é a área do hexágono. Essa medida aproxima-se de 0,648 unidades de área.
Nessa fase pode-se propor aos alunos que verifiquem a porcentagem de aproveitamento do alvéolo tomando como parâmetro o polígono triangular para saber a capacidade de armazenamento do mel. Se o polígono escolhido pelas abelhas fosse quadrangular ter-se-ia:
X = 0,562/0,432 = 130%
Ou seja, há um aproveitamento de espaço de 30%. Em relação ao hexágono, procede-se da mesma maneira:
X = 0,648/0,432 = 150%
Para o hexágono há um aumento de 50% de área, possibilitando uma produção considerável de mel.
Com esse modelo matemático é possível fazer análises significativas e a partir do mesmo os apicultores tem uma ferramenta importante para construir caixas de produção de mel levando em consideração os conhecimentos adquiridos pelos seus antepassados garantindo uma produção com qualidade e economia se pautando nos conhecimentos das abelhas matemáticas que produzem o máximo de mel com o mínimo de material. Destaca-se que esses “caixilhos” são ofertados as abelhas tendo em vista que ao observar o processo pelo qual as mesmas organizavam a colméia o apicultor tornou relevantes esses dados para um aproveitamento máximo de produção com o mínimo de gasto de material, capital financeiro e humano.
Assim temos que 3a²√3/8 > 9a² √3/16 > a²√3/4
A partir dessas ponderações pode-se responder a questão enunciada: Porque as abelhas escolhem prismas triangulares, quadrangulares e hexagonais para confeccionar os alvéolos da colméia?
Ao mostrar para os alunos as análises dos três polígonos sobre o alvéolo do favo permite-se que eles façam as conexões com os conteúdos aprendidos em outros momentos e aprendam uma lição de economia. Possivelmente os alunos chegarão a conclusão que o favo de maneira hexagonal escolhido pelas abelhas podem agregar uma quantidade considerável de mel com menos material. Para tanto aproveitam as paredes uns dos outros e utilizam três losangos como fechamento do alvéolo possibilitando que a cada 54 alvéolos um seja produzido a partir da economia dos outros.
Nesse momento, os alunos terão a expressão da escolha da abelha pelo polígono hexagonal. Os passos seguidos para a construção do alvéolo assim como o estudo feito durante o percurso da atividade pode ser considerado um modelo matemático.
Esse momento é muito importante porque há a avaliação da aprendizagem de maneira que se podem considerar as aprendizagens coletivas e individuais dos alunos. Podem-se levar os alunos na propriedade de um apicultor para que eles conversem com o mesmo no intuito de ampliar os conhecimentos adquiridos.